30 bài tập đạo hàm cấp cao - loigiaihay.com

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm cơ bạn dạng nhằm tính.

Lời giải chi tiết:

Ta sở hữu  \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,\,\,f''\left( x \right) = 6x - 4 \Rightarrow f''\left( 1 \right) = 2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cung cấp nhị của hàm số f(x), dùng bảng đạo hàm cơ bạn dạng.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\Rightarrow f''\left( x \right)=6x \\ & \Rightarrow f''\left( 1 \right)=6 \\ \end{align}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cung cấp 1, tiếp sau đó tính đạo hàm cung cấp 2.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1.\left( x-2 \right)-x.1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\   y''=\frac{\left( -2 \right)'{{\left( x-2 \right)}^{2}}-\left( -2 \right).\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)'}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4\left( x-2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số thích hợp tính theo lần lượt đạo hàm cung cấp một, cung cấp nhị, cung cấp tía.

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) trước lúc tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{align}  y'=3{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)'=6x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \\   y''=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+6x.2\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x \\   \,\,\,\,\,\,=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+24{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\   y'''=12\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x+24.2x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)+24{{x}^{2}}.2x \\   \,\,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48{{x}^{3}} \\   \,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2{{x}^{2}} \right)=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Cách 2:

 \(\begin{align}   y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1 \\  y'=6{{x}^{5}}+12{{x}^{3}}+6x \\   y''=30{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+6 \\   y'''=120{{x}^{3}}+72x=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số thích hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\,\,\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\), và dùng công thức lũy quá \(\sqrt[m]{{{x}^{n}}}={{x}^{\frac{n}{m}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{\left( 2x+5 \right)'}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}={{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}}} \\   y''=-\frac{1}{2}.{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}-1}}.\left( 2x+5 \right)' \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{2}{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{3}{2}}}.2 \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{{{\left( 2x+5 \right)}^{\frac{3}{2}}}}=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bạn dạng và công thức tính đạo hàm của hàm số thích hợp \(\left( \frac{1}{u} \right)'=\frac{-u'}{{{u}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-\left( {{\cos }^{2}}x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số thích hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u’\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=5{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\left( 2x+5 \right)'=10{{\left( 2x+5 \right)}^{4}} \\   f''\left( x \right)=40{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\left( 2x+5 \right)'=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}} \\   f'''\left( x \right)=240{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)'=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}} \\ \end{align}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cung cấp nhị của hàm số và giải phương trình \(h''\left( x \right)=0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4 \\   h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1 \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cung cấp 4 của hàm số đang được mang đến. Sử dụng công thức tính đạo hàm

\(\left( \sin u \right)'=u'.\cos u;\,\,\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\)

+) Giải phương trình lượng giác.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f''\left( x \right) =  - 4\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f'''\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) =  - 8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cung cấp nhị và đạo hàm cung cấp tía của hàm số thuở đầu, dùng công thức \(\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\), so sánh với nhị mệnh đề của đề bài xích mang đến, xét tính đích sai của những mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\   y''=-\frac{\left( {{x}^{2}} \right)'}{{{x}^{4}}}=-\frac{2x}{{{x}^{4}}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}} \\   y'''=-2.\frac{-\left( {{x}^{3}} \right)'}{{{x}^{6}}}=\frac{2.3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{6}{{{x}^{4}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính những đạo hàm cung cấp một và cung cấp nhị của hàm số, tiếp sau đó demo từng đáp án nhằm lựa chọn được đáp án đích.

Lời giải chi tiết:

\(y'=2\cos 2x;\,\,y''=-4\sin 2x=-4y\Leftrightarrow 4y+y''=0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng những quy tắc tính đạo hàm của một tích, đạo hàm của một thương. Lưu ý những hàm số thích hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x.\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\   y''=\frac{4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{\frac{4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4{{x}^{3}}+4x-2{{x}^{3}}-x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thử từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\begin{align}   y=\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{-\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án B:

\(\begin{align}   y=-\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=-\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{-{{\cos }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án C:

\(\begin{align}   y=\cot x \\   y'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\   y'=\frac{2\sin x\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\cos x}{{{\sin }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án D:

\(\begin{align}   y=\tan x \\   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cung cấp nhị của hàm số bên trên, tiếp sau đó thay cho \(x=-\frac{\pi }{2}\) và tính \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}x\left( \sin x \right)'+2x=3{{\sin }^{2}}x\cos x+2x \\   f''\left( x \right)=3.\left( {{\sin }^{2}}x \right)'.\cos x+3{{\sin }^{2}}x.\left( \cos x \right)'+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x\left( \sin x \right)'\cos x-3{{\sin }^{2}}x.\sin x+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x{{\cos }^{2}}x-3{{\sin }^{3}}x+2 \\   f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=6\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right){{\cos }^{2}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)-3{{\sin }^{3}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)+2=3+2=5. \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cung cấp một, nhị, tía, chuyển đổi những công thức lượng giác và suy rời khỏi đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

\(y'=\cos x=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án A đích.

\(y''=-\sin x=\sin \left( x+\pi  \right)\Rightarrow \) Đáp án B đích.

\(y'''=-\cos x=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án C đích.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm những cung cấp của hàm số thuở đầu và suy rời khỏi quy luật của những đạo hàm cấp cao, tiếp sau đó suy rời khỏi \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'\left( x \right)=-\sin x \\   y''\left( x \right)=-\cos x \\   y'''\left( x \right)=\sin x \\   {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=\cos x=y \\   {{y}^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)=-\sin x=y' \\   {{y}^{\left( 6 \right)}}\left( x \right)=-\cos x=y'' \\   {{y}^{\left( 7 \right)}}\left( x \right)=\sin x=y''' \\   .... \\ \end{align}\)

Ta có: \(2018=504.4+2\Rightarrow {{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=y''\left( x \right)=-\cos x\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chuyển đổi tích trở thành tổng \(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left( \cos \left( a+b \right)-\cos \left( a-b \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y=\sin 5x.\sin 3x=-\frac{1}{2}\left( \cos 8x-\cos 2x \right) \\   \Rightarrow y'=-\frac{1}{2}\left( -8\sin 8x+2\sin 2x \right)=4\sin 8x-\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,y''=32\cos 8x-2\cos 2x \\   \,\,\,\,\,\,y'''=-256\sin 8x+4\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,{{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x \\ \end{align}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(a=s''\), tính đạo hàm cung cấp nhị của hàm số \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\), tiếp sau đó tính \(a\left( 2 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{align}   a=v'=\left( s' \right)'=s'' \\   s'=3{{t}^{2}}-4t+4 \\   s''=6t-4=a \\   a\left( 2 \right)=6.2-4=8\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right) \\ \end{align}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính những đạo hàm cung cấp một, cung cấp nhị, cung cấp tía và suy rời khỏi quy luật.

Lời giải chi tiết:

Ta sở hữu \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+1}{-\left( x-1 \right)}=-x-1-\frac{1}{x-1}\)

Có

\(\begin{align}  & f'\left( x \right)=-1+\frac{1!}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};f''\left( x \right)=-\frac{2!}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},{{f}^{\left( 3 \right)}}=\frac{3!}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}};.... \\  & \Rightarrow {{f}^{\left( 30 \right)}}=-\frac{30!}{{{\left( x-1 \right)}^{31}}}=\frac{30!}{{{\left( 1-x \right)}^{31}}} \\ \end{align}\)

Đáp án B.

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cung cấp 3 của hàm số tiếp sau đó thay cho \(x=1\) nhập nhằm tính \(f'''\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Rightarrow f''\left( x \right)=\frac{-\left( \sqrt{2x-1} \right)'}{2x-1}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}}\)

\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}} \right)'}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{2x-1}}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}} = \dfrac{{{x^2} - 1 + 1}}{{1 - x}} =  - x - 1 + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,f'''\left( x \right) = \dfrac{{2.3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{2.3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\.......\\ \Rightarrow {f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{ - 2.3...2018}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} =  - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

 Sử dụng ông tơ quan lại hệ: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\) nhằm tính vận tốc \(a\) bên trên thời gian \(t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t;\,\,\,a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t - 6\)

Do ê bên trên \(t = 3s\) thì \(a = 12m/{s^2}\) (loại A, C)

Tại \(t = 4s\) thì \(a = 18m/{s^2}\) (loại B)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,y'' = \left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Rút gọn gàng biểu thức. Tính \(y''\) và đánh giá từng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}} = \sin x + \cos x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \cos x =  - y\\ \Rightarrow y'' + hắn = 0\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính \(y',\,\,y''\) của những hàm số ở từng đáp án tiếp sau đó thay cho nhập đẳng thức đề bài xích mang đến coi sở hữu thỏa mãn nhu cầu hoặc không?

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A tao có:

\(\begin{array}{l}y' = \cos x - x\sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) =  - 2\sin x - x\cos x\\ \Rightarrow xy - 2y' + xy'' = {x^2}\cos x - 2\cos x + 2x\sin x - 2x\sin x - {x^2}\cos x =  - 2\cos x\end{array}\)

Vậy đáp án A đích.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tính \(f'\left( x \right),\,\,f''\left( x \right) \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right),\,\,g'\left( x \right) \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right)\)

+) Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 1 \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right) = 6\sin 5x - 1\\g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right) = 2\sin 3x - 3\end{array}\)

Ta sở hữu \(\dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x + 3 - 3}} = \dfrac{{6\sin 5x}}{{2\sin 3x}} = 3\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin 3x}}\)

 \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\sin 5x}}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}.5}}{{\dfrac{{\sin 3x}}{{3x}}.3}} = 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của trang bị thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bên trên điểm sở hữu hoành phỏng \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 \Rightarrow f''\left( x \right) =  - 2x + 4\)

\(f''\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow  - 2{x_0} + 4 = 6 \Leftrightarrow {x_0} =  - 1\)

Ta sở hữu \(f'\left( { - 1} \right) =  - 8,\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của trang bị thị hàm số bên trên điểm \({x_0} =  - 1\) là \(y =  - 8\left( {x + 1} \right) + \dfrac{{16}}{3} =  - 8x - \dfrac{8}{3}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4\end{array}\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

 Ta sở hữu \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-\,1-x+\frac{1}{1-x}\Rightarrow \,\,{f}'\left( x \right)=-\,1+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\,1+{{\left( 1-x \right)}^{-\,2}}.\)

Suy rời khỏi \({f}''\left( x \right)=\,2.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}=2!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}\Rightarrow \,\,{f}'''\left( x \right)=2.3.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}=3!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}.\)

Vậy \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,31}}.\) Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm cơ bạn dạng \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: \(y' = 2.3{x^2} = 6x \Rightarrow y'' = 6\).

Xét đáp án B: \(y' = 2x \Rightarrow y'' = 2\).

Xem thêm: Bạn đã biết – Cách tăng sức đề kháng cho người lớn

Xét đáp án C: \(y' = 3{x^2} \Rightarrow y'' = 3.2x = 6x\).

Chọn C.