Tổng hợp lý thuyết bài tập viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết toán lớp 12

Bài tập dượt viết lách Phương trình mặt mày phẳng lì theo đòi đoạn chắn sở hữu đáp án chi tiết

Dưới đó là một trong những bài bác tập dượt viết lách phương trình mặt mày phăng theo đòi đoạn chắn sở hữu đáp án

Bài tập dượt 1: Cho điểm $A\left( 3;0;0 \right)$ và điểm $M\left( 0;2;-1 \right).$Viết phương trình mặt mày phẳng lì $\left( \alpha  \right)$đi qua A, M sao mang đến $\left( \alpha  \right)$cắt những trục $Oy$, $Oz$ theo lần lượt bên trên những điểm B, C sao mang đến ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{2},$ với O là gốc tọa phỏng.

Lời giải chi tiết

Bạn đang xem: Tổng hợp lý thuyết bài tập viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết toán lớp 12

Giả sử mặt mày phẳng lì $\left( \alpha  \right)$cắt những trục $Oy$; $Oz$ lần lượt bên trên $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt mày phẳng lì $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( \alpha  \right)$đi qua chuyện điểm$M\left( 0;2;-1 \right)$ nên $\frac{2}{b}-\frac{1}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{2}{b}-1=\frac{2-b}{b}\Rightarrow c=\frac{b}{2-b}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3\left| bc \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| bc \right|=1$

Khi đó: $\left| b.\frac{b}{2-b} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{b}^{2}}=2-b \\  {} {{b}^{2}}=b-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} b=1 \\  {} b=-2 \\ \end{array} \right.$

Với $b=1\Rightarrow c=1\Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$

Với $b=-2\Rightarrow c=\frac{-1}{2}\Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-2z=1$

Bài tập dượt 2: Cho điểm $A\left( -1;0;0 \right)$ và mặt mày phẳng lì $\left( Phường \right):x+2y+2=0$. Viết phương trình mặt mày phẳng lì chuồn qua A, vuông góc với $\left( Phường \right)$ và hạn chế những trục $Oy$, $Oz$ theo lần lượt bên trên những điểm B, C sao mang đến ${{S}_{ABC}}=\frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt mày phẳng lì $\left( \alpha  \right)$ hạn chế những trục $Oy$, $Oz$ theo lần lượt bên trên $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt mày phẳng lì $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( ABC \right)\bot \left( Phường \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( Phường \right)}}}=0\Rightarrow -1+\frac{2}{b}=0\Rightarrow b=2$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}\left( 1;2;0 \right);\overrightarrow{AC}\left( 1;0;c \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{5{{c}^{2}}+4}}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$

Suy đi ra $\left( ABC \right):-x+\frac{y}{2}\pm \frac{z}{1}=1$

Bài tập dượt 3: Cho mặt mày phẳng lì $\left( Phường \right):2x-y+z-5=0$. Viết phương trình $\left( Q \right)$ chứa chấp lối $\Delta =\left( Phường \right)\cap \left( xOy \right)$ và hạn chế những trục tọa phỏng tại A, B, C sao mang đến ${{V}_{OABC}}=\frac{125}{36}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( xOy \right):z=0\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=-5+2t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;0 \right)$

Do $\left( Q \right)$ chứa chấp đường thẳng liền mạch $\Delta \Rightarrow \left( Q \right)$ qua chuyện điểm $\left( 0;-5;0 \right)$

Giả sử $\left( Q \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{c}=1$$\left( a;c\ne 0 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( \frac{1}{a};-\frac{1}{5};\frac{1}{c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{2}{5}=0\Rightarrow a=\frac{5}{2}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}\left| abc \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow \frac{1}{6}\left| \frac{5}{2}.5.c \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow c=\pm \frac{5}{3}\Rightarrow \left( ABC \right):\frac{2}{5}x-\frac{y}{5}\pm \frac{3}{5}z=1$

Hay $2x-y\pm 3z-5=0$

Bài tập dượt 4: Cho nhì điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$. Viết $\left( Phường \right)$ chuồn qua M, N và hạn chế những trục $Ox$, $Oy$ theo đòi tứ tự động tại A, B (khác O) sao mang đến $AM=\sqrt{3}BN$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ là phú điểm của $\left( Phường \right)$ với những trục tọa độ

Phương trình mặt mày phẳng lì $\left( Phường \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( abc\ne 0 \right)$

Do $\left( Phường \right)$ trải qua những điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \\  {} \frac{-1}{a}-\frac{1}{c}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\  {} \frac{2}{b}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\  {} b=1 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $AM=\sqrt{3}BN\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+4+1=3\left[ \left( 1+{{b}^{2}}+1 \right) \right]=9$

$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=3\Rightarrow c=\frac{-3}{4} \\  {} a=-1\Rightarrow \frac{1}{c}=0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Xem thêm: Xe Đạp Điện 133 Việt Nhật Plus

Khi cơ $\left( Phường \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}-\frac{4z}{3}=1$ hoặc $\left( Phường \right):x+3y-4z-3=0$

Bài tập dượt 5: Cho nhì điểm $M\left( 1;9;4 \right)$. Viết $\left( Phường \right)$ chuồn qua M và hạn chế những trục tọa phỏng theo đòi loại thự tại A, B, C (khác O) sao mang đến $8.OA=12.OB+16=37.OC$, với ${{x}_{A}}>0;{{y}_{B}}>0;{{z}_{C}}<0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a>0;b>0;c0;b>0;c<0$

Do $8.OA=12.OB+16=37.OC\Rightarrow 8a=12b+16=-37c$

Ta có: $8a=12b+16=-37c\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{\frac{8a-16}{12}}+\frac{4}{-\frac{8}{37}a}=1\Leftrightarrow \frac{35-4a}{{{a}^{2}}-2a}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=5 \\  {} a=-7\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Với $a=5\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} b=2 \\  {} c=\frac{-40}{37} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( Phường \right):\frac{x}{5}+\frac{y}{2}-\frac{37}{40}z=1$hay $\left( Phường \right):8x+20y-37z-40=0$

Lời giải chi tiết

Giả sử $C\left( 0;0;c \right)$ tớ sở hữu phương trình mặt mày phẳng lì $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{c}=1$

Ta sở hữu $OA,OB,OC$đôi một vuông góc nên ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3.6.\left| c \right|=12\Leftrightarrow c=\pm 4$.

Chọn D

Lời giải chi tiết

Ta có: $A\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. $\overrightarrow{AB}=\left( -1;b;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;c \right)$

Khi đó: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( bc;c;b \right) \right|=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$. Chọn C

Lời giải chi tiết

Gọi $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$(điều khiếu nại $b,c>0$) suy đi ra $\left( Phường \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Vì $H\in \left( Phường \right)$ nên $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=384$

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=b+c \\  {} v=bc \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} v=2u \\  {} {{v}^{2}}+4\left( {{u}^{2}}-2v \right)=384 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} u=8;v=16 \\  {} u=-6;v=-12\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} b+c=8 \\  {} bc=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=c=4$

Vậy phương trình mặt mày phẳng lì $\left( Phường \right)$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ hoặc $2x+y+z-4=0$. Chọn D

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt mày phẳng lì $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$

Xem thêm: Tivi Samsung 4k 65 Inch: Nơi bán giá rẻ, uy tín, chất lượng nhất | Websosanh

Xét mặt mày cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$ sở hữu tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, nửa đường kính $R=\frac{6\sqrt{14}}{7}$

Khoảng cơ hội kể từ $I\xrightarrow{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}$

Vì mặt mày cầu $\left( S \right)$ xúc tiếp với $mp\left( ABC \right)$$mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}$. Chọn D