Thể tích khối chóp: Công thức tính và phân dạng bài tập

Bài viết lách giúp cho bạn gọi dò xét hiểu công thức tính thể tích khối chóp. Từ bại phần mềm giải những dạng bài bác tập dượt theo đuổi từng khối chóp không giống nhau như khối chóp sở hữu cạnh mặt mày vuông góc lòng, khối chóp sở hữu hình chiếu của đỉnh lên trên bề mặt bằng lòng, khối chóp xuất hiện mặt mày vuông góc với lòng, khối chóp đều, …

Công thức

Thể tích khối chóp được xem vì chưng 1 phần tía tích của độ cao nhân với diện tích S lòng. Công thức tổng quát: V = 1/3.Sh, Trong số đó S là diện tích S lòng và h là độ cao.

Bạn đang xem: Thể tích khối chóp: Công thức tính và phân dạng bài tập

Nhận xét

– Thể tích khối chóp vì chưng 1 phần tía thể tích hình lăng trụ sở hữu cộng đồng lòng và độ cao với hình chóp.

– Có sự tương đương đằm thắm công thức thể tích khối chóp với công thức diện tích S tam giác (nửa tích độ cao và cạnh đáy) khi không ngừng mở rộng kể từ không khí hai phía lên không khí 3 chiều.

Phân dạng bài bác tập

Dạng 1. Khối chóp sở hữu cạnh mặt mày vuông góc đáy

Phương pháp giải

– Một hình chóp sở hữu một cạnh mặt mày vuông góc với lòng thì cạnh vị trí kia đó là lối cao.

– Một hình chóp sở hữu nhì mặt mày mặt kề nhau nằm trong vuông góc với lòng thì cạnh mặt mày là phú tuyến của nhì mặt mày bại vuông góc với lòng.

Bài tập dượt vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt mày bằng (ABC). Góc đằm thắm đường thẳng liền mạch SB và mặt mày bằng (ABC) vì chưng 30°. Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu góc đằm thắm đường thẳng liền mạch SB và mặt mày bằng (ABC) là SBA = 30°.

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu độ cao SA vì chưng a. Mặt lòng ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC vì chưng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo đuổi a.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều cạnh a nên

⇒ Diện tích đáy:

Thể tích khối chóp:

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn với . Cạnh mặt mày SA vuông góc với mặt mày bằng (ABCD), cạnh mặt mày SB phù hợp với mặt mày bằng (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên trên bề mặt bằng (ABCD)

Nên (SB, (ABCD)) = SBA = 60°;

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA là độ cao của khối chóp S.ABCD

Tính được

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho tứ diện OABC sở hữu lòng OBC là tam giác vuông bên trên O, OB = a, , (a > 0) và lối cao . Tính thể tích khối tứ diện theo đuổi a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thế tích khối tứ diện

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60° cạnh SA vuông góc với lòng và SC tạo ra với lòng một góc 60°. Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu ∆ABC đều nên AC = a.

Có:

Suy đi ra

Mặt không giống

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi sở hữu cạnh vì chưng , BAD = 120° và cạnh mặt mày SA vuông góc với lòng. thạo mặt mày bằng (SBC) và lòng vì chưng 60°. Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Do lòng ABCD là hình thoi sở hữu BAD = 120° nên những tam giác ABC, ADC đều cạnh .

Gọi H là trung điểm của BC, tao có:

AH ⊥ BC, SA ⊥BC ⇒ BC ⊥ SH

Do đó: ((SBC); (ABCD)) = (AH; SH) = SHA = 60°

Tam giác SAH vuông bên trên A:

Ta có:

Suy ra:

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, AB = 2a, BAC = 60°. Cạnh mặt mày SA vuông góc với mặt mày bằng (ABC) và . Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 2a³

B. V = 3a³

C. V = a³

D. V = 4a³

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B sở hữu góc BAC = 30°, SA = a, SCA = 45° và SA vuông góc với lòng. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số ngay gần độ quý hiếm này nhất trong những độ quý hiếm sau:

A. 0,01

B. 0,05

C. 0,08

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu SCA = 45°

⇒ AC = SA.tanSCA = a

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD, lòng ABCD là hình chữ nhật sở hữu AB = 2a, AD = a. Hai mặt mày bằng (SAB) và (SAD) nằm trong vuông góc với lòng, góc đằm thắm nhì mặt mày bằng (SAB) và (SBD) vì chưng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số sớm nhất độ quý hiếm này bên dưới đây:

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,75

D. 1,5

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = AB.AD = 2a²

(SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD)

(SAB) ⋂ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD)

Ta có:

AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB)

⇒ AD ⊥ SB. Kẻ AH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AHD)

⇒ SB ⊥ HD.

Ta có:

⇒ AH = AD = a

Xét tam giác SAB vuông bên trên S có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC sở hữu cạnh mặt mày SA vuông góc với lòng và AB = a, AC = 2a, BAC = 120°. Mặt bằng (SBC) tạo ra với lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Khi bại SF ⊥ BC, suy ra

((SBC), (ABC)) = SFA = 60°

⟹ Chọn A

Dạng 2. Khối chóp sở hữu hình chiếu của đỉnh lên trên bề mặt bằng đáy

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình chữ nhật sở hữu AB = a, , H là trung điểm của cạnh AB. thạo nhì mặt mày bằng (SHC) và (SHD) nằm trong vuông góc với mặt mày lòng, đường thẳng liền mạch SD tạo ra với mặt mày lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⇒ SH ⊥ (ABCD)

⇒ SH là độ cao của hình chóp S.ABCD

Ta sở hữu HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

⇒ (SD, ABCD) = (SD, HD) = SDH = 60°

⇒

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S bên trên mặt mày bằng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc đằm thắm đường thẳng liền mạch SC và mặt mày bằng (ABC) vì chưng 60°. Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta có: (SC, (ABC)) = SCH = 60°

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC sở hữu góc đằm thắm SC và mặt mày lòng vì chưng 45°, lòng ABC là tam giác vuông bên trên A sở hữu AB = 2a , góc ABC = 60° và hình chiếu của S lên trên bề mặt bằng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông bên trên A:

Tam giác AHC vuông bên trên H:

SCH = (SC, (ABC)) = 45°.

Xét tam giác SHC vuông bên trên H:

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B; AB = 2a, AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S bên trên mặt mày bằng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc đằm thắm cạnh mặt mày SA và mp (ABC) vì chưng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 3a³

B. V = a³

C. V = 4a³

D. V =

Hướng dẫn giải

Ta có: SH ⊥ (ABC)

⇒ Góc đằm thắm SA và (ABC) là SAH = 60°

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho tới , cạnh AC hạn chế MD bên trên H. thạo SH vuông góc với mặt mày bằng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD.

Hướng dẫn giải

Hai tam giác vuông AMD và DAC sở hữu nên đồng dạng,

Suy đi ra ADH = DCH, nhưng mà ADH + HDC = 90° ⇒ DHC = 90°

∆ADC vuông bên trên D:

Hệ thức lượng ∆ADC: DH.AC = DA.DC

Suy ra:

∆DHC vuông bên trên H:

Do bại diện tích S

Thể tích khối chóp

⟹ Chọn C

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC sở hữu ABC là tam giác vuông bên trên B, , Ngân Hàng Á Châu = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt bằng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Theo fake thiết sở hữu SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông bên trên B

Có

Ta sở hữu

Xét tam giác SGE vuông bên trên G sở hữu

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là

⟹ Chọn A

Câu 7. Cho ABCD là hình vuông vắn cạnh vì chưng 1, gọi M là trung điểm AB. Qua M dựng đường thẳng liền mạch vuông góc (ABCD) và bên trên bại lấy điểm S sao cho tới . Thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp S.BCD theo thứ tự là x, nó, z. Giá trị là:

A. −17,2

B. −247,6

C. 8,4

D. 5,2

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, , Ngân Hàng Á Châu = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt bằng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc đằm thắm SE và mặt mày bằng lòng là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông bên trên B có

Do ABC vuông bên trên B nên:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, mặt mày mặt SAB là tam giác đều, mặt mày mặt SCD là tam giác vuông cân nặng bên trên S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số sớm nhất độ quý hiếm này bên dưới đây:

A. 5

B. 7

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

S_ABCD = a²

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và CD.

Kẻ SH ⊥ MN

Ta có: CD ⊥ MN, CD ⊥ SN

⇒ CD ⊥ (SMN)

⇒ CD ⊥ SH nhưng mà SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Ta sở hữu SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân nặng bên trên S

⇒

Tam giác SMN có:

⇒ Tam giác SMN vuông bên trên S ⇒

Do vậy

⟹ Chọn B

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi cạnh a, BAC = 60°, hình chiếu vuông góc của S bên trên mặt mày bằng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt bằng (SAC) phù hợp với mặt mày bằng (ABCD) góc 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD vì chưng V. Giá trị là:

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Gọi O = AC ⋂ BD.

Ta sở hữu AC ⊥ BD, AC ⊥ SG ⇒ AC ⊥ (SBD)

⇒ AC ⊥ SO. Mặt không giống OB ⊥ AC

⇒ ((SAC), (ABCD)) = SOB = 45°

Xét tam giác SOG vuông bên trên G:

Vậy

⟹ Chọn C

Dạng 3. Khối chóp xuất hiện mặt mày vuông góc với đáy

Phương pháp giải

Để xác lập lối cao hình chóp tao áp dụng toan lí sau:

Bài tập dượt vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, BA = 3a, BC = 4a; mặt mày bằng (SBC) vuông góc với mặt mày bằng (ABC). thạo và SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

B. V = a³

Hướng dẫn giải

Kẻ SH vuông góc BC suy đi ra SH vuông góc mp (ABC)

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn cạnh vì chưng 4, mặt mày mặt SAB là tam giác đều và trực thuộc mặt mày bằng vuông góc với lòng. Gọi M, N, Phường theo thứ tự là trung điểm của những cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là nó. Giá trị x, nó thoả mãn bất đẳng thức này bên dưới đây:

A. x² + 2xy − y² > 160

B. x² − 2xy + 2y² < 109

C. x² + xy − y⁴ < 145

D. x² − xy + y⁴ > 125

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB. Do ∆ABC đều và (SAB) ⊥ (ABCD)

Xét ∆ABC đều:

Ta có:

Gọi AN ∩ HD = {K} tao sở hữu MK là lối tầm của ∆DHS

Thay vô những đáp án

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn sở hữu cạnh a. Mặt mặt mày SAB là tam giác đều trực thuộc mặt mày bằng vuông góc với lòng ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB.

∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB mà

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân lối cao của khối chóp.

Ta sở hữu tam giác SAB đều nên

Suy đi ra

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho tứ diện ABCD sở hữu ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân nặng bên trên D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD phù hợp với (BCD) một góc 60°, AD = a. Thể tích tứ diện ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta sở hữu tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)

Suy ra: (AD, (BCD)) = ADH = 60°

Ta sở hữu

Suy đi ra

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên B, sở hữu BC = a. Mặt mặt mày SAC vuông góc với lòng, những mặt mày mặt còn sót lại đều tạo ra với mặt mày lòng một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Kẻ SH ⊥ BC vì như thế mp (SAC) ⊥ mp (ABC) nên SH ⊥ mp (ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H bên trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo đuổi fake thiết SIH = SJK = 45°

Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI ⊥ HJ.

Tứ giác HIBJ là hình thoi nên BH là lối phân giác của ∆ABC kể từ bại suy đi ra H là trung điểm của AC.

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân nặng bên trên S và trực thuộc mặt mày bằng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:

⟹ Chọn C

Câu 7. Tứ diện ABCD sở hữu ABC và BCD là nhì tam giác đều theo thứ tự trực thuộc nhì mặt mày bằng vuông góc cùng nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.

Hướng dẫn giải

Ta có

Ta nhằm ý: ∆ABC = ∆DBC ⇒ AH = DH

Do bại tam giác AHD vuông cân nặng bên trên H.

Suy ra: mà

Do đó:

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu BAC = 90°; ABC = 30°; SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Ta có:

Xem thêm: Sinh ngày 4/1 cung gì? Hé lộ tính cách của người sinh ngày 4/1 mà ai cũng thích

Do đó:

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân nặng bên trên S và trực thuộc mặt mày bằng vuông góc với lòng (ABCD), biết , SC tạo ra với mặt mày lòng (ABCD) một góc 60°. Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải

Theo fake thiết tao sở hữu SM ⊥ (ABCD)

MC là hình chiếu của SC bên trên (ABCD) nên góc đằm thắm SC với mặt mày bằng (ABCD) là SCM = 60°

Trong tam giác vuông SMC và SMD tao có:

nhưng mà ABCD là hình vuông vắn nên MC = MD

Lại sở hữu

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên A, mặt mày mặt SAB là tam giác đều trực thuộc mặt mày bằng vuông góc với mặt mày bằng (ABC). thạo AB = a, . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Do (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên

Thể tích khối chóp S.ABC là

⟹ Chọn C

Dạng 4. Khối chóp đều

Phương pháp giải

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu như lòng của chính nó là một trong những nhiều giác đều và những cạnh mặt mày vì chưng nhau

Kết quả: Trong hình chóp đều

– Đường cao hình chóp qua loa tâm của nhiều giác đáy

– Các cạnh mặt mày tạo ra với lòng những góc vì chưng nhau

– Các mặt mày mặt tạo ra với lòng những góc vì chưng nhau

Chú ý:

– Đề bài bác cho tới hình chóp tam giác đều (tứ giác đều) tao hiểu là hình chóp đều

– Hình chóp tam giác đều không giống với hình chóp sở hữu lòng là nhiều giác đều vì như thế hình chóp tam giác đều thì phiên bản đằm thắm nó sở hữu lòng là tam giác đều và những cạnh mặt mày đều bằng nhau, phát biểu một cách tiếp theo, hình chóp tam giác đều thì suy đi ra hình chóp sở hữu lòng là tam giác đều tuy nhiên điều ngược lại là ko đúng

– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều phải có lòng là hình vuông

Bài tập dượt vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vì chưng a, góc đằm thắm cạnh mặt mày và mặt mày lòng vì chưng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Vì S.ABC là hình chóp đều nên ABC là tam giác đều tâm G và SG ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Có AG là hình chiếu của AS bên trên (ABC) nên góc đằm thắm cạnh mặt mày SA với lòng là (SA, AG) = SAG = 60° (vì SG ⊥ AG ⇒ SAG nhọn)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

Trong tam giác SAG sở hữu SG = AG.tan60° = a

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, lòng ABCD sở hữu diện tích S là 16cm², diện tích S một phía mặt mày là cm². Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. cm³

B. cm³

C. cm³

D. 4cm³

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu S_ABCD = 16cm² ⇒ CD = 4cm

Xét ∆SOH vuông bên trên O có:

Vậy:

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu những cạnh mặt mày vì chưng và tạo ra với mặt mày bằng lòng góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm ∆ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét ∆SGA vuông bên trên G có:

∆ABC đều

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vì chưng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc đằm thắm SG và mặt mày bằng (SBC) là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Do ABC đều nên

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC nhưng mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)

⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM

⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°

Xét tam giác SGM vuông bên trên M có:

Do vậy

⟹ Chọn D

Câu 5. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh lòng vì chưng a và cạnh mặt mày vì chưng 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABC) Ta sở hữu SA = SB = SC suy đi ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta sở hữu tam giác ABC đều nên

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh vì chưng a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của ∆ABC

⇒ DO ⊥ (ABC)

∆DOC vuông có:

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu cạnh lòng vì chưng 2a, cạnh mặt mày vì chưng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông vắn cạnh 2a, tâm O; SO ⊥ (ABCD);

Diện tích hình vuông vắn ABCD

⇒ S.ABC_D = (2a²) = 4a²; ∆SAO vuông bên trên O sở hữu

Thể tích khối chóp S.ABCD:

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD sở hữu toàn bộ những cạnh có tính lâu năm vì chưng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABCD).

Ta sở hữu SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD

⇒ ABCD là hình thoi sở hữu lối tròn xoe nước ngoài tiếp nên ABCD là hình vuông vắn.

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vì chưng a, những cạnh mặt mày SA, SB, SC đều tạo ra với lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC), tao sở hữu H là trọng tâm tam giác ABC, AH là hình chiếu của SA lên mp (ABC) nên (SAH) = 60°

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABC sở hữu cạnh mặt mày vì chưng a phù hợp với lòng ABC một góc 60°. Tính thể tích hình chóp.

Hướng dẫn giải

. Tính AO. Từ bại suy đi ra được AH

⇒ Cạnh của tam giác lòng đều.

⟹ Chọn A

Dạng 5. Tỉ lệ thể tích

Phương pháp giải

Việc tính thể tích của một khối chóp thông thường học viên giải bị nhiều sơ sót. Tuy nhiên trong những đề thi đua lại đòi hỏi học viên tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp tiếp tục cho tới. Khi bại học viên rất có thể triển khai những cơ hội sau:

Cách 1:

– Xác toan nhiều giác đáy

– Xác toan lối cao (phải chứng tỏ lối cao vuông gới với mặt mày bằng đáy)

– Tính thể tích khối chóp theo đuổi công thức

Cách 2

– Xác toan nhiều giác đáy

– Tính những tỷ số chừng lâu năm của lối cao (nếu nằm trong nhiều giác đáy) hoặc diện tích S lòng (nếu nằm trong lối cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp tiếp tục cho tới và tóm lại thể tích khối cần thiết dò xét vì chưng k chuyến thể tích khối tiếp tục cho tới.

Cách 3: Dùng tỷ số thể tích (Chỉ vận dụng cho tới khối chóp (tứ diện))

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC sở hữu đỉnh chung S và góc ở đỉnh S

Ta có:

Bài tập dượt vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC sở hữu tam giác ABC vuông cân nặng ở B, , SA vuông góc với lòng ABC, SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt mày bằng (α) qua loa AG và tuy nhiên song với BC hạn chế SC, SB theo thứ tự bên trên M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Hướng dẫn giải

Ta có: và SA = a

∆ABC cân nặng có:

Vậy:

Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm, tao có:

Vậy:

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân nặng ở A và AB = a. Trên đường thẳng liền mạch qua loa C và vuông góc với mặt mày bằng (ABC) lấy điểm D sao cho tới CD = a. Mặt bằng qua loa C vuông góc với BD, hạn chế BD bên trên F và hạn chế AD bên trên E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Hướng dẫn giải

Tính

Ta có: AB ⊥ AC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (ACD)

⇒ AB ⊥ EC

Ta có: DB ⊥ EC

⇒ EC ⊥ (ABD)

Tính V_DCEF: Ta có:

(*)

Mà DE.DA = DC², phân tách cho tới DA² ⇒

Tương tự:

Từ (*) ⇒ . Vậy

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt mày bằng (α) qua loa A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của nhì phần khối chóp bị phân loại vì chưng mặt mày bằng bại.

Hướng dẫn giải

Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là tiết diện của khối chóp khi hạn chế vì chưng mặt mày bằng (ABM).

Mà

Do đó:

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, lòng là hình vuông vắn cạnh a, cạnh mặt mày tạo ra với lòng góc 60°. Gọi M là trung điểm SC. Mặt bằng trải qua AM và tuy nhiên song với BD, hạn chế SB bên trên E và hạn chế SD bên trên F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Hướng dẫn giải

Gọi I = SO ∩ AM. Ta sở hữu (AEMF) // BD ⇒ EF // BD

với S_ABCD= a²

∆SOA có:

Phân phân tách chóp tứ giác tao có:

Do đó: V_{S .AEMF} = V_SAMF + V_SAME = 2V_SAMF; V_S.ABCD= 2V_SACD = 2V_S.ABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

; ∆SAC sở hữu trọng tâm I, EF // BD nên:

⟹ Chọn D

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc lòng, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A theo thứ tự lên SB, SD. Mặt bằng (AB’D’) hạn chế SC bên trên C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta sở hữu BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’; SB ⊥ AB’.

Suy ra: AB’ ⊥ (SBC) nên AB’ ⊥ SC. Tương tự động AD’ ⊥ SC.

Vậy SC ⊥ (AB’D’)

Tính V_{S.AB’C’D’}

Tính V_S.AB’C’: Ta có: (*)

∆SAC vuông cân nặng nên

Ta có:

Từ (*) ⇒

Ta có:

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của SB và SD. Mặt bằng AB’D’ hạn chế SC bên trên C’. Tính tỉ số thể tích của nhì khối chóp SAB’C’D’ và S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O = AC ∩ BD. Ta sở hữu AC’, B’D’, SO đồng quy bên trên I và I là trung điểm của SO.

Kẻ OC” // AC’. Ta sở hữu SC’ = C’C” = C”C nên

Ta sở hữu

Tương tự động tao cũng có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mày bằng lòng và SA = 2a. Gọi B’, D’ theo thứ tự là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt bằng (AB’D’) hạn chế SC bên trên C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu AB’ ⊥ SB, AB’ ⊥ CB ⇒ AB’ ⊥(SBC)

⇒ AB’ ⊥ SC (a)

Tương tự động AD’ ⊥ SC (b)

Từ (a) và (b) suy đi ra SC ⊥ (AB’C’D’) ⇒ SC ⊥ AC’

Do tính đối xứng, tao sở hữu V_{SAB’C’D’} = 2V_SAB’C’

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA = SB = a, SC = 2a, ASB = BSC = 60°, ASC = 90°. Thể tích của khối chóp S.ABC vì chưng V. Tỉ số là:

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm SC, tao sở hữu SM = a

⇒ ∆SAM vuông cân nặng bên trên S. Gọi H là trung điểm của AM.

Ta sở hữu

Ta sở hữu SM = BM = a và BSC = 60° ⇒ ∆BSM đều ⇒ BM = a ⇒ ∆BSM đều

Ta sở hữu AB = BM = a ⇒ ∆ABM cân nặng bên trên B.

Mặt khác: AB² + BM² = 2a² và AM² = 2a² ⇒ AB² + BM² = AM²

⇒ ABM vuông cân nặng bên trên B (định lý pitago đảo) ⇒

Ta sở hữu

⇒ ∆SHB vuông cân nặng bên trên H (định lý pitago đảo)

Ta sở hữu SH ⊥ AM, SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ (ABM)

⟹ Chọn B

*Cách khác: Sử dụng công thức giải nhanh

Tổng quát: Cho chóp S.ABC sở hữu SA = a, SB = b, SC = c và ASB =α, BSC = β, ASC = γ.

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Áp dụng vô bài bác này tao được:

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh a, góc đằm thắm mặt mày mặt và mặt mày bằng lòng là α thoả mãn . Mặt bằng (P) qua loa AC và vuông góc với mặt mày bằng (SAD) phân tách khối chóp S.ABCD trở thành nhì khối nhiều diện. Tỉ lệ thể tích nhì khối nhiều diện là sớm nhất với độ quý hiếm này trong những độ quý hiếm sau:

A. 0,11

B. 0,13

C. 0,7

D. 0,9

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ (ABCD). Gọi N là trung điểm CD

Kẻ CM ⊥ SD. Ta có

Nên mặt mày bằng (P) là (ACM)

Xét tam giác SON vuông bên trên N có:

Xét tam giác SOD vuông bên trên O có:

Ta sở hữu

Xét tam giác MCD vuông bên trên M có:

Ta có:

Mặt bằng (P) phân tách khối chóp S.ABCD trở thành 2 khối MACD và S.ABCM

Do đó:

⟹ Chọn A

Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh a, góc đằm thắm mặt mày mặt và mặt mày bằng lòng là α. Mặt bằng (P) qua loa AC vuông góc với mặt mày bằng (SAD) phân tách khối chóp S.ABCD trở thành nhì khối nhiều diện. Tỉ lệ thể tích nhì khối nhiều diện là .

Chứng minh:

Ta có:

Do vậy:

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vì chưng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc đằm thắm SG và mặt mày bằng (SBC) là 30°. Mặt bằng (P) chứa chấp BC và vuông góc với SA phân tách khối chóp S.ABC trở thành nhì phần. Tỉ số thể tích nhì phần là: