[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài ghi chép này Vted ra mắt cho tới độc giả cụ thể Tổng hợp ý toàn bộ những công thức tính nhanh chóng Tỷ số thể tích khối nhiều diện trích kể từ những bài bác giảng Tính nhanh chóng tỷ số thể tích của Khoá học tập COMBO X bên trên Vted.vn. Hy vọng nội dung bài viết hữu ích so với quý thầy giáo viên và chúng ta học viên.

>>Rèn luyện khả năng tính tỉ số thể tích khối nhiều diện trải qua những vấn đề điển hình

>>Định lí menelaus vô mặt mũi bằng phẳng và Định lí menelaus vô ko gian

>>Lý thuyết và vận dụng công thức tỷ số thể tích (công thức simson) mang lại khối chóp tam giác (khối tứ diện)

Công thức 1: Hai khối chóp đỉnh chung và công cộng mặt mũi bằng phẳng lòng $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ hoàn toàn có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ theo lần lượt là trung điểm những cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Giải. Ta đem $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$

Chọn đáp án D.

Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ hoàn toàn có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ theo lần lượt là trung điểm những cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$

Giải. Ta đem $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 2: Công thức Simson (tỷ số thể tích) mang lại khối chóp tam giác $\dfrac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{S{{A}_{1}}}{SA}.\dfrac{S{{B}_{1}}}{SB}.\dfrac{S{{C}_{1}}}{SC}.$

Công thức 3: Cắt khối chóp bởi vì mặt mũi bằng phẳng tuy nhiên song với lòng sao mang lại $\dfrac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\dfrac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là tình huống đặc biệt quan trọng mang lại nhị khối nhiều diện đồng dạng tỷ số $k).$

Công thức 4: Mặt bằng phẳng hạn chế những cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ theo lần lượt bên trên $M,N,P$ sao mang lại $\dfrac{AM}{A{A}'}=x,\dfrac{BN}{B{B}'}=y,\dfrac{CP}{C{C}'}=z$ tao đem ${{V}_{ABC.MNP}}=\dfrac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ hoàn toàn có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ theo lần lượt với mọi cạnh $B{B}',C{C}'$ sao mang lại $\dfrac{MB}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}'}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?

Giải.Ta đem ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ hoàn toàn có thể tích $V=27.$ Gọi $M,\text{ }N$ theo lần lượt là trung điểm của $B{B}'$ và $C{C}'.$ Hai mặt mũi bằng phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ phân tách khối lăng trụ đang được mang lại trở nên tư khối nhiều diện. Thể tích khối nhiều diện chứa chấp đỉnh ${C}'$ bằng

Giải. Gọi $E=AM\cap {A}'B;F=AN\cap {A}'C.$ Ta xuất hiện bằng phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ phân tách khối lăng trụ đang được mang lại trở nên tư khối nhiều diện là ${A}'AEF,ABCEF,BMNCEF,{A}'{B}'{C}'MEFN.$

Theo Thales đem $\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EB}{E{A}'}=\dfrac{BM}{A{A}'}=\dfrac{1}{2};\dfrac{FN}{FA}=\dfrac{FC}{F{A}'}=\dfrac{CN}{A{A}'}=\dfrac{1}{2}$

Do cơ ${{V}_{{A}'AEF}}=\dfrac{{A}'E}{{A}'B}.\dfrac{{A}'F}{{A}'C}{{V}_{{A}'ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}V=4$ và \[{{V}_{ABCMN}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{BM}{B{B}'}+\dfrac{CN}{C{C}'} \right)V=\dfrac{1}{3}V=9\]

\[\Rightarrow {{V}_{{A}'{B}'{C}'MEFN}}=V-\left( {{V}_{ABCMN}}+{{V}_{{A}'AEF}} \right)=27-\left( 9+4 \right)=14.\] Chọn đáp án C.

*Các em xem xét lại Bài giảng Công thức tỷ số thể tích (Simson) và Công thức tính nhanh chóng tỷ số thể tích khoá PRO X.

Công thức 5: Mặt bằng phẳng hạn chế những cạnh của khối vỏ hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ theo lần lượt bên trên $M,N,P,Q$ sao mang lại $\dfrac{AM}{A{A}'}=X,\dfrac{BN}{B{B}'}=y,\dfrac{CP}{C{C}'}=z,\dfrac{DQ}{D{D}'}=t$ tao đem \({V_{ABCD.MNPQ}} = \dfrac{{x + hắn + z + t}}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\) và $x+z=y+t.$  

Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$ và $P$ nằm trong cạnh $D{D}'$ sao mang lại $DP=\dfrac{1}{4}D{D}'.$ Mặt bằng phẳng $(AMP)$ hạn chế $C{C}'$ bên trên $N.$ Thể tích khối nhiều diện $AMNPQBCD$ bằng

Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}'}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}'},t=\dfrac{DP}{D{D}'}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$

Khi cơ ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Xem thêm: Sữa Bột Pha Sẵn ColosBaby IQ Gold 110ml - Thùng 48 Hộp

Công thức 6: Mặt bằng phẳng hạn chế những cạnh của khối chóp  tứ giác $S.ABCD$ đem lòng là hình bình hành theo lần lượt bên trên $M,N,P,Q$ sao mang lại $\dfrac{SM}{SA}=x,\dfrac{SN}{SB}=y,\dfrac{SP}{SC}=z,\dfrac{SQ}{SD}=t$ tao đem ${{V}_{S.MNPQ}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ hoàn toàn có thể tích $V$ với lòng $ABCD$ là hình bình hành. Mặt bằng phẳng qua loa $A,M,P$ hạn chế cạnh $SC$ bên trên $N$ với $M,P$ là những điểm với mọi cạnh $SB,SD$ sao mang lại $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{1}{2},\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối nhiều diện $ABCD.MNP.$

A. $\dfrac{23}{30}V.$

B. $\dfrac{7}{30}V.$

C. $\dfrac{14}{15}V.$

D. $\dfrac{V}{15}.$

Giải. Ta đem $x=\dfrac{SA}{SA}=1,y=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{SN}{SC},t=\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}\Rightarrow 1+\dfrac{1}{z}=2+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{5}.$

Do cơ ${{V}_{S.AMNP}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)V=\dfrac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\dfrac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hình chóp \[S.ABCD\] đem lòng \[ABCD\] là hình bình hành và \[M\] là trung điểm của cạnh mặt mũi \[SC\]. Gọi \[\left( P.. \right)\] là mặt mũi bằng phẳng chứa chấp \[AM\] và tuy nhiên song với \[BD\], mặt mũi bằng phẳng \[\left( P.. \right)\] hạn chế \[SB\] và \[SD\] theo lần lượt bên trên \[{B}'\] và \[{D}'\]. Tỷ số \[\dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}\] bằng

Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1;y=\dfrac{S{B}'}{SB};z=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2};t=\dfrac{S{D}'}{SD}$ thì $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=3$

Và $\dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{4}xyzt\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{3}{4}yt$

Ta đem $BD||\left( A{B}'M{D}' \right)\Rightarrow \left( A{B}'M{D}' \right)\cap \left( SBD \right)={B}'{D}'||BD\Rightarrow y=t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hình chóp \[S.ABCD\] đem lòng là hình bình hành và hoàn toàn có thể tích là \[V\]. Điểm \[P\] là trung điểm của \[SC\], một phía bằng phẳng qua loa \[AP\] hạn chế những cạnh \[SB\] và \[SD\] theo lần lượt bên trên \[M\] và \[N\]. Gọi \[{{V}_{1}}\] là thể tích khối chóp \[S.AMPN\]. Giá trị nhỏ nhất của \[\dfrac{{{V}_{1}}}{V}\] bằng

Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1;y=\dfrac{SM}{SB};z=\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2};t=\dfrac{SN}{SD}$ thì $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=3$

Và $\dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{4}xyzt\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{3}{4}yt$

Ta đem $3=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{y}\dfrac{1}{t}}\Rightarrow yt\ge \dfrac{4}{9}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{3}{4}yt\ge \dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 9: Hai khối nhiều diện đồng dạng với tỷ số $k$ đem $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ hoàn toàn có thể tích $V.$ Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện đem tư đỉnh là trọng tâm những mặt mũi của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$

Giải. Gọi ${A}',{B}',{C}',{D}'$ theo lần lượt là trọng tâm những mặt mũi $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta đem $\dfrac{{A}'{B}'}{AB}=\dfrac{{A}'{C}'}{AC}=\dfrac{{A}'{D}'}{AD}=\dfrac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ đồng dạng với một khối tứ diện $ABCD$ theo đòi tỉ số $k=\dfrac{1}{3}.$ 

Do đó  $\dfrac{{{V}'}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}.$ Chọn đáp án B.

Bạn hiểu cần thiết phiên bản PDF của nội dung bài viết này hãy nhằm lại Bình luận vô phần Bình luận tức thì bên dưới Bài ghi chép này Vted tiếp tục gửi cho những bạn

Xem thêm: Angela Gold, Có tác dụng gì, Giá bao nhiêu, Mua ở đâu, Có tốt không?

>>Xem thêm thắt Cập nhật Đề đua demo chất lượng nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán đem điều giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

>>Xem thêm Tổng hợp ý những công thức tính nhanh chóng số phức vô cùng hoặc dùng- Trích bài bác giảng khoá học tập PRO X bên trên Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh chóng Hình bằng phẳng toạ chừng Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh chóng hình toạ chừng Oxyz

>>Xem thêm thắt kỹ năng và kiến thức về Cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ phiên bản chú ý vận dụng trong những vấn đề độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp ý những công thức lượng giác cần thiết nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

TẢI VỀ BÀI VIẾT FULL CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỶ SỐ THỂ TÍCH TẠI VTED.VN